Переборщик товара на складе

Описание

1.4 Системы линейных уравнений

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, ..., хn (случай m = n не исключен).

где аij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) - называются коэффициентами системы, а числа b1, b2, ..., bm - свободными членами.
Эту систему можно записать в виде АХ = В,
где , , .
383349446926500 Матрица А называется матрицей системы, Х - столбцом неизвестных, В - столбцомсвободных членов . Если к матрице А добавить столбец В, то получим матрицу , называемую расширенной матрицей системы.
Решением системы называется такая совокупность значений х1,х2,,...,хn, при подстановке которой в систему все ее уравнения обращаются в тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Система называется квадратной, если n = m, т.е. число неизвестных равно числу уравнений системы. В некоторых случаях нахождение решений квадратных систем можно осуществлять по формулам Крамера или матричным способом.
Теорема Крамера. Если определитель ∆ матрицы А квадратной
системы не
равен нулю, то система имеет единственное решение,
которое определяется по формулам
(*)
где ∆i(i=1, 2, ..., n) - определитель, получаемый из опре-
делителя ∆ заменой i-го столбца столбцом свободных
членов.
Равенства(*)называются формулами Крамера.
Пример 3. Решить систему по формулам Крамера.
Найдем определитель системы: =2( - 4 + 3)+( - 2 - 4)+ 3( - 3 -
- 8)= - 41. Так как ∆ != 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера: .
Вычислим определители
, , , и находим неизвестные .
Ответ: (2; 3; 0).

: (2; 3; 0).
Метод Гаусса
Этим методом можно исследовать любую систему линейных уравнений. Суть его состоит в следующем. Применяя ЭП 1-4 расширенную матрицу системы приводим к матрице ступенчатой формы (в частности к треугольной):
20713694635500 треугольная форма, аii!= 0.
34099495143500 ступенчатая форма аiiR.
Если получена матрица треугольной формы, то r(А) = r() = n и система уравнений совместная, имеет единственное решение. Все неизвестные находим из соответствующей системы уравнений:
.
Далее, если получена матрица ступенчатой формы и в ней имеется строка вида: (0 0 ... 0│b'k) где b'k!= 0, то система несовместна, т.к. r(А) != r().
Если же получена матрица ступенчатой формы и r(А) = r() = r r < n, то система неопределенная, т.е. имеет бесчисленное множество решений.
Для нахождения этих решений, возьмем какой-нибудь базисный минор матрицы А либо матрицы ступенчатой формы и рассмотрим соответствующую ему систему r уравнений. В левых частях уравнений оставим r неизвестных, коэффициенты которых являются элементами базисного минора. Эти неизвестные назовем базисными неизвестнымисистемы. Остальные n - rнеизвестных системы назовем свободными неизвестными и члены уравнений содержащие их, перенесем вправо. Из полученной системы уравнений выразим базисные неизвестные через свободные неизвестные (например, по формулам Крамера).
Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных.
Решить методом Гаусса следующие системы уравнений:
Пример 4. .
Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатой форме с помощью ЭП строк 1- 4.
1787524381000038334945080000 .
Получили матрицу треугольной формы, которая содержит три ненулевых строки. Следовательно, r(А) = r() = 3 = n, т.е. система имеет единственное решение. Найдем его.
Полученной матрице соответствует система
Из последнего уравнения имеем х3 = 3. Подставим это значение во второе уравнение, получим - 4х2 + 15 = 15, т.е. х2 = 0 и, наконец, из первого уравнения х1 + 0 - 3 = - 2 находим х1 = 1.
Ответ: (1; 0; 3).
Пример 5.
Расширенную матрицу системы приводим к матрице ступенчатой формы
45154841022350023634698953500
Так как r(А) = 1, r() = 2 и r(А) != r(), то система несовместная.

Пример 6.
218693911899900045770791437640004295139654050016859247810500
r(А) = r() = r = 2, так как n = 4, то r < n - система совместная и неопределенная. Найдем бесчисленное множество решений. Число свободных неизвестных n - r = 4 - 2 = 2.
Выбираем какой-либо базисный минор. Например, .
В качестве базисных переменных берем х1 и х2, остальные х3, х4 - свободные переменные системы
Полагаем х3 = k, х4 = р,k, р R, находим х2 = - 2 + 10k - 17p,
х1 = - 3( - 2 + 10k - 17р) - 1 + 13k - 22р, х1 = 5 - 17k + 29р
Ответ: х1 = 5 - 17k + 29р, х2 = - 2 + 10k - 17p, х3 = k, х4 = р, р, kR..
Пример 7
49688741044575002455544897890004807584869950021348699969500
r(А) = r() = 2, тогда r = 2 < n = 5 - система совместная и неопределенная. Число свободных неизвестных 5 - 2 = 3.
Возьмем любой базисный минор, например: . Теперь х1и х5 - базисные переменные, а остальные переменные х2,х3, х4 - свободные.
.
Полагаем х2 = k, х3 = р, х4 = с, где k, p, cR; находим базисные переменные: , х1=k - p - 2c + 2(1+3p+5c), .
Ответ: , х2 = k, х3 = р, х4 = с, , k, p, cR.
ЗАДАЧИ
Раздел А
Решить системы уравнений, используя формулы Крамера:
1. 29 1. 30 1. 31
1. 32 1. 33
1. 34 1. 35
1. 36 1.37
1.38 1.39
, b3 = 6.
Решить методом Гаусса следующие системы линейных уравнений:
1.40 1.41
1.42 1.43
1.44 1.45
1. 46 1. 47
1. 48 1. 49
1. 50