Начальник отдела организационного обеспечения( Региональный центр торгов )

Описание

УДК 373.5.016.514
ББК 74.262.21Б94
© Буц\bо Е. \f., Мерзля\b А. Г., Полонс\bий \f. Б.,
Я\bир М. С., 2020
© Издательс\bий центр «\fент\Мана-Граф», 2020
ISBN 978-5-360-09177-6 Буцко, Е. \b.
Математи\bа : алгебра и начала математичес\bог\Мо анализа, гео-
метрия. Геометрия. Углублённый уровень : 10 \bласс : методи-
чес\bое пособие / Е.  \f.  Буц\bо, А.  Г.  Мерзля\b, \f. Б. Полонс\bий,
М. С. Я\bир. — М. : \fентана-Граф, 2020. — 83 с. : ил. — (Россий-
с\bий учебни\b).
ISBN 978-5-360-09177-6
Пособие содержит примерное планирование учебного материала, \Мме-
тодичес\bие ре\bомендации \b \bаждому параграфу, \bомментарии \b упраж-
нениям и \bонтрольные работы. Пособие используется в \bомпле\bте с учебни\bом «Математи\bа: алгеб ра
и начала математичес\bого а\Мнализа, геометрия. Геометрия. Углублённый
уровень. 10 \bласс» (авт. А. Г. Мерзля\b, Д. А. Номировс\bий, \f. М. Поля-
\bов; под ред. \f. Е. Подольс\bого). Пособие соответствует Федеральному государственному образова-
тельному стандарту среднего общего образования. УДК 373.5.016.514ББК 74.262.21
Б94

3
От авторов
Данное ме\bодиче\fкое по\fобие адре\fовано учи\bелям, рабо\bающим по
учебнику «Геоме\bрия. 10 кла\f\f» ав\bоров А.  Г.  Мерзляка, Д.  А.  Номи-
ров\fкого, В.  М.  Полякова. Цель по\fобия  — помочь учи\bелю наиболее
эффек\bивно организовыва\bь, о\fуще\f\bвля\bь и кон\bролирова\bь учебный
проце\f\f на уроках геоме\bрии в 10 кла\f\fе. В разделе «Примерн\bе п\bур\bчн\bе п\fанир\bвание» пред\f\bавлено ра\f-
пределение учебного времени по изучаемым \bемам \f учё\bом ч\ка\fов, вы-
деленных на кон\bрольные рабо\bы. Раздел «Мет\bдические рек\bмендации п\b \bрганизации учебн\bй дея-
те\fьн\bсти \bбраз\bвате\fьных д\bстижений учащихся» \fо\f\bои\b из \bехно-
логиче\fких кар\b по каждой \bеме кур\fа, за и\fключением кон\bрольных
рабо\b. В \bехнологиче\fкой кар\bе обозначены формируемые и планируе-
мые резуль\bа\bы, о\fновные поня\bия, изучаемые на уроке, примерные
задания для каждого урока данной \bемы, а \bакже даны ме\bодиче\fкие
коммен\bарии к \bек\f\bу \fоо\bве\b\f\bвующего параграфа учебника и неко\bо-
рым упражнениям. Задания для формирования предме\bных резуль\bа-
\bов, дополни\bельные задания, задания для пов\bорения и для домашней
рабо\bы указаны из учебника «Геоме\bрия. 10 кла\f\f» ав\bоров А. Г. Мерз-
ляка и др.; задания для кон\bроля и коррекции предме\bных резуль\bа\bов
указаны из по\fобия «Само\f\bоя\bельные и кон\bрольные рабо\bы. Геоме-
\bрия. 10 кла\f\f» ав\bоров А. Г. Мерзляка и др. Дополни\bельные задания
можно и\fпользова\bь для индивидуальной, пар\кной или групповой рабо-
\bы учащих\fя, а \bакже во внеурочной дея\bельно\f\bи. Технологиче\fкие
кар\bы являю\b\fя эффек\bивной помощью учи\bелю п\кри организации
учебной дея\bельно\f\bи. При э\bом нужно учи\bыва\bь, ч\bо выполнение
объёма заданий на уроке и дома должно коррек\bирова\bь\fя учи\bелем в
зави\fимо\f\bи уровня ма\bема\bиче\fкой подго\bовки учащих\fя. Раздел «К\bнтр\b\fьные раб\bты» \fо\f\bои\b из ше\f\bи кон\bрольных рабо\b
в \fоо\bве\b\f\bвии \f планированием учебного ма\bери\кала. Каждая рабо\bа
пред\f\bавлена в че\bырёх вариан\bах. Такой обширный ма\bериал поможе\b
учи\bелю организова\bь объек\bивный и эффек\bивный кон\bроль знаний. В разделе «Мет\bдические рек\bмендации п\b \bценке \bбраз\bвате\fьных
д\bстижений учащихся» показаны ме\bоды кон\bроля в учебном проце\f\fе. В разделе «Мет\bдические рек\bмендации п\b ф\bрмир\bванию ИКТ-
к\bмпетентн\bсти учащихся» предла\bаем тех\fоло\bическую карту уро-
ка, \fа котором используются ИКТ. В раздел «Мет\bдические рек\bмендации п\b \bрганизации учебн\b-ис-
с\fед\bвате\fьск\bй и пр\bектн\bй деяте\fьн\bсти учащихся» включены \bех-
нологиче\fкие кар\bы организации проведения учебно-и\f\fледова\bель-
\fкой и проек\bной дея\bельно\f\bи, кри\bерии оценки э\bой дея\bе\кльно\f\bи.

4
Примерн\bе п\bур\bчн\bе п\fанир\bвание 3 часа в не\bелю, всег\f 105 час\fв
Номер
п\bр\bгр\bф\b Номер
уро\f\b Содерж\bние учебного м\bтери\bл\b Количество
ч\bсов
Гл\bв\b 1. Введение в стереометрию 11
1
1, 2 Осн\fвные п\fнятия стере\fметрии. Акси\fмы стере\fметрии 2
2
3—5
Сле\bствия из акси\fм стере\fметрии 3
3
6—10
Пр\fстранственные фигуры. Начал\Оьные пре\bставления \f мн\fг\fгранниках 5
11 К\fнтр\fльная раб\fта № 1 1
Гл\bв\b 2. П\bр\bллельность в простр\bнстве
21
4
12—14 Взаимн\fе расп\fл\fжение \bвух прямых в пр\f\Остранстве 3
5
15—19
Параллельн\fсть прям\fй и пл\fск\fсти 5
6
20—24
Параллельн\fсть пл\fск\fстей 5
7
25—27
Пре\fбраз\fвание фигур в пр\fстранстве.
Параллельн\fе пр\fектир\fван\Оие 3
8
28—31
Из\fбражения пл\fских и пр\fстранственных фигур 4
32 К\fнтр\fльная раб\fта № 2 1
Гл\bв\b 3. Перпенди\fулярность в простр\bнстве
42
9
33—35 Уг\fл меж\bу прямыми в пр\fстранстве 3
10
36—40
Перпен\bикулярн\fсть прям\fй и пл\fск\fсти 5

5
11
41—45Перпен\bикуляр и накл\fнная 5
12
46—50
Те\fрема \f трёх перпен\bикулярах 5
51 К\fнтр\fльная раб\fта № 3 1
13
52—56
Уг\fл меж\bу прям\fй и пл\fск\fстью 5
14
57—61
Двугранный уг\fл. Уг\fл меж\bу \bвумя пл\fск\fстями 5
15
62—66
Перпен\bикулярные пл\fск\fсти 5
16
67—69
Пл\fща\bь \fрт\fг\fнальн\fй пр\fекции мн\fг\fуг\fльника 3
17
70—72
Мн\fг\fгранный уг\fл. Трёхгранный уг\fл 3
18
73, 74
Ге\fметрическ\fе мест\f т\fчек пр\fстранства 2
75 К\fнтр\fльная раб\fта № 4 1
Гл\bв\b 4. Многогр\bнни\fи
22
19
76—80 Призма 5
20
81—84
Параллелепипе\b 4
21
85—90
Пирами\bа 6
22
91, 92
Усечённая пирами\bа 2
23
93—96
Тетраэ\bр 4
97 К\fнтр\fльная раб\fта № 5 1
Повторение и систем\bтиз\bция учебного м\bтери\bл\b
9
98—104
П\fвт\fрение и систематизация учебн\fг\f материала за курс ге\fметрии 8
105 Ит\fг\fвая к\fнтр\fльная раб\fта 1

6
Мет\bдические рек\bмендации
п\b \bрганизации учебн\bй деяте\fьн\bсти
Г\fава 1. Вве\bение в стере\fметрию
§\b 1. Основны\f понятия ст\fр\fом\fтрии.
Аксиомы ст\fр\fом\fтрии
Техн\fл\fгическая карта ур\fк\fв
Формиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Предмет\bые: ф\fрмир\fвать умение \fперир\fвать \fсн\fвны-
ми п\fнятиями стере\fметрии, ф\fрмир\fв\Оать пре\bставление
\fб акси\fматическ\fм мет\f\bе.
Ли\f\bост\bые: ф\fрмир\fвать интерес к изучению темы и же-
лание применять при\fбр\Оетённые знания и умен\Оия.
Метапредмет\bые: ф\fрмир\fвать перв\fначальные пре\О\bстав-
ления \fб и\bеях и \f мет\f\bах\О математики как \fб универсаль-
н\fм языке науки и техники, \f сре\bстве м\f\bелир\fвания яв-
лений и пр\fцесс\fв.
Планиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Учащийся научится \fперир\fвать \fсн\fвными п\fнятиям\Ои сте-
ре\fметрии, п\fлучит пре\bставление \fб акси\fматическ\fм
мет\f\bе.
Основны\b
понятия Пл\fск\fсть, прямая пересекает пл\fск\fсть, пл\fск\fсти пересе-
каются, акси\fмы А1, А2, А3, А4, А5, А6.
З\bд\bния для
формиров\bния предметных результ\bтов Дополни-
тельные з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 1 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.7 1.4 1.29 1.6, 1.8
Уро\f 2 1.9, 1.10, 1.11,
1.14, 1.16, 1.17, 1.19 1.12, 1.21,
1.23, 1.24,
1.25 1.30 Сам\fст\fя-
тельная
раб\fта № 1: № 3, 4 1.13, 1.15,
1.18, 1.20,
1.22

7
Мет\bдические к\bмментарии
Перед началом изучения \bемы жела\bельно п\ков\bори\bь о\fновные
принципы, по ко\bорым \f\bроил\fя кур\f планиме\bрии. Учащие\fя должны
о\fознанно и неформально понима\bь необходимо\f\bь введения о\fновных
поня\bий. Зде\fь во многом може\b помочь р\ки\fунок 1.1 параграфа. Одна-
ко об\fуждение \bого, какие именно поня\bия должны вой\bи в \fпи\fок о\f-
новных поня\bий, выходи\b за рамки школьного кур\fа геоме\bрии. Для обозначения принадлежно\к\f\bи \bочек и прямых пло\fко\f\bи в учеб-
нике и\fпользуе\b\fя \bеоре\bико-множе\f\bвенная \fимволика: \bочка, при-
надлежащая пло\fко\f\bи,  — э\bо элемен\b множе\f\bва \bочек пло\fко\f\bи;
множе\f\bво \bочек прямой, принадле\кжащей пло\fко\f\bи, — э\bо подмноже-
\f\bво \bочек пло\fко\f\bи. Такой подход позволяе\b вве\f\bи \fоо\bве\b\f\bвующие
обозначения, делающие оформление доказа\bель\f\bв \bеорем и решений
задач более кра\bким и компак\bным. Поня\bие ак\fиомы не являе\b\fя новым для учащих\f\кя. Жела\bельно,
ч\bобы учащие\fя назвали ряд ак\fиом, знакомых им\к из кур\fа планиме-
\bрии. Необходимо\f\bь введения ак\fиом учащие\fя \bо\кже могу\b разъя\f-
ни\bь, и\fходя из предыдущего опы\bа. Поня\bно, ч\bо учебник не\к \f\bави\b цель познакоми\bь уча\кщих\fя \f пол-
ным \fпи\fком ак\fиом \f\bереоме\bрии. О\fновывая\fь на определённых \bра-
дициях, \fложивших\fя в школьной геоме\bрии, в параграфе приводя\b\fя
формулировки че\bырёх ак\fиом. Причём э\bо\b \fпи\fок\к ак\fиом не являе\b-
\fя незави\fимым. Так, ак\fиому А4 можно выве\f\bи из других ак\fиом. Та-
кой выбор обу\fловлен удоб\f\bвом изложения. Более подробно об ак\fио-
мах и ак\fиома\bиках учащие\fя \fмогу\b прочи\bа\bь в ра\f\fказе «Об ак\fио-
мах» на \f. 32 учебника. Следуе\b обра\bи\bь внимание учащих\fя н\ка коммен\bарии к ак\fиомам.
Они разъя\fняю\b их \fодержание. Задача, разобранная в параграфе, у\bочняе\b \fодержание ак\fиомы А4.
К\bмментарии к упражнениям
№ 1.14. Найди\bе \bочку пере\fечения прямых АВ и m.
№ 1.19. Во\fпользуй\bе\fь ме\bодом о\b про\bивного.
№ 1.22. Точки А, K и Е лежа\b на прямой пере\fечения пло\fко\f\bей ABC
и  α.
№ 1.25. Пу\f\bь не в\fе \bочки лежа\b в одной пло\fко\f\bи. Тогда для \bрёх дан-
ных \bочек А, В и С найдё\b\fя \bакая \bочка D, ко\bорая не принадлежи\b
пло\fко\f\bи АВС. Но по у\fловию задачи указанные че\bыре \bочки должны
лежа\bь в одной пло\fко\f\bи.
№ 1.28. Ра\f\fмо\bрев ча\f\bные \fлучаи, \fледуе\b вы\fказа\bь гипо\bезу, а за-
\bем доказа\bь её ме\bодом ма\bема\bиче\fкой индукци\ки.

8
§\b 2. Сл\fдствия из аксиом ст\fр\fом\fтрии
Техн\fл\fгическая карта ур\fк\fв
Формиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Предмет\bые: ф\fрмир\fвать умение \b\fказывать и приме-
нять сле\bствия из акси\fм стере\fметрии.
Ли\f\bост\bые: ф\fрмир\fвать умение к\fнтр\fлир\fвать пр\fцесс
св\fей математическ\fй \bеятельн\fсти.
Метапредмет\bые: ф\fрмир\fвать умение устанавливать при-
чинн\f-сле\bственные связи, стр\fить л\fгическ\fе рассуж\bе-
ние, ум\fзаключение (ин\b\Оуктивн\fе, \bе\bуктивн\fе и\О п\f ана-
л\fгии) и \bелать выв\f\bы.
Планиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Учащийся научится \b\fказывать и применять сле\bствия из ак-
си\fм стере\fметрии.
Основны\b
понятия Сле\bствия из акси\fм стере\fметрии, сп\fс\fбы \f\bн\О\fзначн\fг\f
за\bания пл\fск\fсти.
З\bд\bния для
формиров\bния предметных результ\bтов Дополни-
тельные з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 1 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.7 2.6 2.5, 2.8
Уро\f 2 2.9, 2.11, 2.12,
2.13, 2.14, 2.17 2.25
2.15, 2.18
Уро\f 3 2.16, 2.19, 2.21,
2.22 2.24 2.26 Сам\fст\fя-
тельная
раб\fта № 2: № 4, 7 2.20, 2.23
Мет\bдические к\bмментарии
След\f\bвия из ак\fиом \f\bереоме\bрии, как и ак\fиомы, являю\b\fя на-
глядно очевидными фак\bами. Однако их можно доказа\bь \f помощью ак-
\fиом \f\bереоме\bрии. Следуе\b обра\bи\bь внимание, ч\bо формулировки \bеорем 2.1 и 2.2 \fо-
\f\bоя\b из двух ча\f\bей: \fуще\f\bвование пло\fко\f\bи и её един\f\bвенно\f\bь.
Поэ\bому доказа\bель\f\bва э\bих \bеорем \fо\f\bоя\b \bоже из двух ча\f\bей. Един-

9
\f\bвенно\f\bь пло\fко\f\bи, обладающей указанными \fвой\f\bвами, доказыва-
е\b\fя ме\bодом о\b про\bивного.В зави\fимо\f\bи о\b уровня ма\bема\bиче\fкой подго\bовки кла\f\fа можно
разъя\fни\bь учащим\fя, ч\bо не\кко\bорые ак\fиомы \f\bереоме\bрии и \fлед-
\f\bвия из них взаимно заменяемые. В э\bом параграфе \fообщае\b\fя очень важный фак\b об элемен\bах, за-
дающих пло\fко\f\bь. Зде\fь \f\bанови\b\fя ак\bуальным разъя\fнение уча-
щим\fя, ч\bо означае\b дей\f\bв\кие прове\f\bи пло\fко\f\bь. Э\bа операция прин-
ципиально о\bличае\b\fя о\b аналогично\кй задачи планиме\bрии. Когда в
планиме\bрии проводя\b прямую, \bо дей\f\bви\bельн\ко \f\bрои\b\fя модель пря-
мой в виде о\bрезка. В \f\bереоме\bрии по\f\bрои\bь модель пло\fко\f\bи нельзя.
Её лишь можно вообрази\bь. Поэ\bому проце\f\f по\f\b\кро ения пло\fко\f\bи за-
меняе\b\fя указанием элемен\bов, задающих пло\fко\f\bь. При ра\f\fмо\bрении задач 2.14, 2.15 учи\bель должен обра\bи\bь внима-
ние учащих\fя на \bо, как важно коррек\bно изобража\bь \f\bереоме\bриче-
\fкие фигуры на пло\fко\f\bных ри\fунках. Зде\fь могу\b помочь иллю\к\f\bра-
ции Мори\fа Эшера, предо\f\bавленные \f помощью ин\bерак\bивных
\fред\f\bв обучения. По мере изучения \f\bереоме\bрии \fледуе\b обраща\bь внимание на \bо,
каким образом элемен\bы про\f\bран\f\bвенных фигур \bран\fформирую\b\fя
при их изображении на пло\fко\f\bи. Так, при изучении данного парагра-
фа можно приве\f\bи пример \bого, ч\bо окружно\f\bь може\b «по\bеря\bь»
\fвою форму и \f\bа\bь эллип\fом либо о\bрезком.
К\bмментарии к упражнениям
№ 2.9, 2.10. Э\bи задачи, как правило, не вызываю\b \fложно\f\bей. Вме\f\bе \f
\bем они уча\b важному элемен\bу \f\bереоме\bриче\fких по\f\bроений: по\f\bро-
ению на чер\bеже \bочки пер\ке\fечения данной прямой \f\к данной пло\fко-
\f\bью. Э\bо\b навык незаменим при по\f\bроении \fечений многогранников.
№ 2.14. Точки Е, D и F должны лежа\bь на одной прямой.
№ 2.15. В\fе ра\f\fма\bриваемые \bочки и прямые лежа\b в одной пло\fко\f\bи,
\fледова\bельно, \bочки A, D и M должны лежа\bь на одной прямой.
№ 2.17. Е\fли данные прямые не пер\ке\fекаю\b\fя в одной \bочке, \bо количе-
\f\bво \bочек их пере\fечения равно \bрём. Тогда э\bи прямые буду\b лежа\bь
в одной пло\fко\f\bи, ч\bо про\bиворечи\b у\fловию.
№ 2.19. Найди\bе \bочку пере\fечения прямой MN \f прямой пере\fечения
пло\fко\f\bей α и β.
№ 2.22. Докажи\bе, ч\bо \bочка А являе\b\fя общей для \bрёх данных пло-
\fко\f\bей.
№ 2.23. Докажи\bе, ч\bо \bочка пере\fечения прямых AB и CD являе\b\fя об-
щей для пло\fко\f\bей ABC, ХAB и ХCD.

10
§\b 3. Пространств\fнны\f фигуры.
Начальны\f пр\fдставл\fния о многогранниках
Техн\fл\fгическая карта ур\fк\fв
Формиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Предмет\bые: ф\fрмир\fвать умение расп\fзнавать и из\fбра-
жать мн\fг\fгранники и иссле\b\fвать чертежи и их частные
ви\bы: пирами\bу и призму; стр\fить сечения мн\fг\fгранник\fв
пл\fск\fстями, за\bанными св\fими\О элементами.
Ли\f\bост\bые: ф\fрмир\fвать умение ф\fрмулир\fвать с\fб-
ственн\fе мнение.
Метапредмет\bые: ф\fрмир\fвать умение \fпре\bелять п\О\fня-
тия, с\fз\bавать \fб\fбщения, устанавливать анал\fгии, класси-
фицир\fвать, сам\fст\fятельн\f выбирать \fсн\fвания и крите-
рии \bля классификации.
Планиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Учащийся научится расп\fзнавать и из\fбражать мн\fг\fгран-
ники и их частные ви\bы: пирами\bу и призму; стр\fить сече-
ния мн\fг\fгранник\fв пл\fск\fстями, за\bанными св\fими\О эле-
ментами.
Основны\b
понятия Мн\fг\fгранник, п\fверхн\fсть мн\fг\fгранника, грани мн\fг\f-
гранника, рёбра мн\fг\fгранника, вершины мн\fг\fгранника,
пирами\bа, б\fк\fвые грани пирами\bы, \fсн\fвание пирами-
\bы, б\fк\fвые рёбра пирами\bы, рёбра \fсн\fвания пирами\bы,
тетраэ\bр, призма, \fсн\fвания \Опризмы, б\fк\fвые грани при-
змы, б\fк\fвые рёбра призмы, прям\fуг\fльный параллелепи-
пе\b, сечение мн\fг\fгранника пл\fск\fстью, секущая пл\f-
ск\fсть.
З\bд\bния для
формиров\bния предметных результ\bтов Дополни-
тельные з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 1 3.1, 3.2, 3.3, 3.5 3.4, 3.6
Уро\f 2 3.7, 3.9, 3.12,
3.14, 3.16, 3.17 3.42 3.8, 3.10,
3.11, 3.13, 3.15

11
З\bд\bния для
формиров\bния предметных результ\bтов Дополни-
тельные з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 3 3.19, 3.21, 3.22, 3.24 3.26, 3.27 3.18, 3.20,
3.23
Уро\f 4 3.28, 3.30, 3.31, 3.32 3.43 3.29
Уро\f 5 3.33, 3.35, 3.36,
3.37, 3.39 3.40, 3.41 Сам\fст\fя-
тельная
раб\fта № 3: № 5, 6, 8 3.34, 3.38
Мет\bдические к\bмментарии
Изуча\bь пло\fко\f\bи и прямые в про\f\bран\f\bве, их взаимное ра\fполо-
жение до\f\bа\bочно \fложно, е\fли не пр\кивязыва\bь э\bи фигуры к изве\f\b-
ным учащим\fя многогранникам. При \bаком подходе изучаемый ма\bе-
риал \f\bанови\b\fя более \fодержа\bельным и наглядным. Поэ\bому уже в § 3
учебника, на начальном э\bапе изучение кур\fа \f\bереоме\bрии формируе\b-
\fя пред\f\bавление о многогранниках. В э\bом параграфе ма\bериал излагае\b\fя опи\fа\bельно, во многом о\fно-
вывая\fь на ранее полученных пред\f\bавлениях о многогранниках. Зде\fь
не надо \bребова\bь о\b учащих\fя \f\bрогих определений призмы и пирами-
ды. Э\bи определения буду\b даны в главе 4. Важно, ч\bобы учащие\fя мог-
ли различа\bь многогранники \fреди других \f\bереоме\bриче\fких \bел, опи-
\fыва\bь призму и пирамиду. О\fобое внимание \fледуе\b обра\bи\bь на эле-
мен\bы э\bих двух геоме\bриче\fких фигур. Задача 1 параграфа обозначена как ключевая. Именно навыки, при-
обре\bённые при её решении, позволя\b учащим\fя в дальнейшем\к \f\bрои\bь
\fечения многогранников. При необходимо\f\bи учи\bелю до\f\bа\bочно лег-
ко придума\bь целый ряд анал\когичных задач. По\f\bроение \fечений многогранников  — одна из фундамен\bальных
задач \f\bереоме\bрии. Э\bо\b \bип задач, как никакой другой, очень хорошо
развивае\b про \f\bран\f\bвенное воображение. Поэ\bому в учебни\кке \bак
много внимания уделяе\к\b\fя задачам на по\f\bроение \fечений многогран-
ников. В э\bом параграфе по\f\bроение \fечения о\fновано лишь на элемен-
\bах, задающих пло\fко\f\bь. Э\bи элемен\bы были перечи\fлены в § 2.
Окончани\b

В параграфе разобраны два \bипа задач на по\f\bроение \fечений мно-
гогранников: по\f\bроение \fечения по \bрём \bочкам и по прямой и \bочке
вне её. Следуе\b подробно разобра\bь \f учащими\fя э\bи задачи. Тек\f\b ре-
шения можно ра\f\fма\bрива\bь как один из образцов оформления реше-
ния задач подобного рода. В зави\fимо\f\bи о\b уровня ма\bема\bиче\fкой
подго\bовки кла\f\fа оформление решения задач на по\f\bроение \fечений
можно \fдела\bь более формальным, и\fпользуя \bеоре\bико-множе\f\bвен-
ный язык, в ча\f\bно\f\bи операцию пере\fечения множе\f\bв. Задачу 6 можно фак\bиче\fки ра\f\fма\bрива\bь как доказа\bель\f\bво \bео-
ремы Дезарга для \fлучая, когда на конфигурации о\b\fу\b\f\bвую\b не\fоб-
\f\bвенные \bочки и прямые. Решен\кие э\bой задачи формируе\b важный и
кра\fивый приём решения планиме\bриче\fких з\кадач \f помощью \f\bерео-
ме\bриче\fких ме\bодов. Э\bо\b приём нередко называю\b «выходом в про-
\f\bран\f\bво». С его применением уч\кащие\fя ещё не раз буду\b в\f\bреча\bь\fя
в кур\fе \f\bереоме\bрии.
К\bмментарии к упражнениям
№ 3.24.  Найди\bе \bочки пере\fечения прямых АМ и ЕK, а \bакже \bочку
пере\fечения прямых ВМ и FK. Полученные \bочки пере\fечения опреде-
ляю\b и\fкомую прямую.
№ 3.25. Найди\bе \bочки пере\fечения прямых СЕ и ВF, а \bакже \bочку пе-
ре\fечения прямых АС и ВD. Полученные \bочки пере\fечения определя-
ю\b и\fкомую прямую.
№ 3.30. При решении э\bой задачи важно проанализирова\bь, \fколько
\f\bорон може\b име\bь многоугольник, полученный в резуль\bа\bе \fечения
куба пло\fко\f\bью. Например, ра\f\fуждения могу\b бы\bь \bакими: по\fколь-
ку в кубе ше\f\bь граней, \bо количе\f\bво \f\bорон многоугольника не може\b
превыша\bь ше\f\bи и \b. д.
№ 3.31. Пу\f\bь прямые МF и МK пере\fекаю\b рёбра АВ и СD в \bочках F
1
и K
1 \fоо\bве\b\f\bвенно. Тогда \bочка пере\fечения прямых FK и F 1K1 при-
надлежи\b пло\fко\f\bи о\fнования пирамиды.
№ 3.33. По\f\bрой\bе прямые пере\fечения пло\fко\f\bей ABP и ADM, а \bак-
же пло\fко\f\bей ADM и BDN.
№ 3.36—3.38. Во\fпользуй\bе\fь идеей решения задачи 3.31, где опи\fыва-
е\b\fя, как най\bи \bочку пере\fечения прямой и пло\fко\f\bи о\fнования.
Фак\bиче\fки при решении э\bих задач и\fпользуе\b\fя идея цен\bрального
проек\bирования.
№ 3.40—3.41. Во\fпользуй\bе\fь идеей решения задачи 5 параграфа.
Контрольная работа №\b1

13
Г\fава 2. Параллельн\fсть в пр\fстранстве
§\b 4. Взаимно\f располож\fни\f
двух прямых в\b пространств\f
Техн\fл\fгическая карта ур\fк\fв
Формиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Предмет\bые: ф\fрмир\fвать умение \fперир\fвать п\fнятия-
ми параллельные прямые, скре\Ощивающиеся прямые, клас\О-
сифицир\fвать прямые в зависим\fс\Оти \fт их расп\fл\fжения в
пр\fстранстве; \b\fказывать и применять св\fйства параллель-
ных прямых в пр\fстранстве и признак скрещив\Оающихся
прямых.
Ли\f\bост\bые: ф\fрмир\fвать умение пре\bставлять результат
св\fей \bеятельн\fсти.
Метапредмет\bые: ф\fрмир\fвать умение устанавливать при-
чинн\f-сле\bственные связи, стр\fить л\fгическ\fе рассуж\bе-
ние, ум\fзаключение (ин\b\Оуктивн\fе, \bе\bуктивн\fе и\О п\f ана-
л\fгии) и \bелать выв\f\bы.
Планиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Учащийся научится \fперир\fвать п\fнятиями параллельных
прямых, скрещивающихся\О прямых, классифицир\fв\Оать пря-
мые в зависим\fсти \fт их расп\fл\fжения в пр\fстранстве; \b\f-
казывать и применять св\fйства параллельных прямых в
пр\fстранстве и признак скрещив\Оающихся прямых.
Основны\b
понятия Параллельные прямые, скре\Ощивающиеся прямые, взаи\Ом-
н\fе расп\fл\fжение прямых в пр\fстранстве, параллельные
\fтрезки, скрещивающиеся \fтр\Оезки, св\fйства параллельных
прямых, признак скрещ\Оивающихся прямых.
З\bд\bния для
формиров\bния предметных результ\bтов Дополни-
тельные з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 1 4.1, 4.2, 4.3,
4.5, 4.6, 4.8, 4.9 4.4, 4.7,
4.10
Уро\f 2 4.11, 4.12, 4.14, 4.16 4.18 4.35 4.13, 4.15,
4.17

14
З\bд\bния для
формиров\bния предметных результ\bтов Дополни-
тельные з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 3 4.19, 4.20, 4.21, 4.23, 4.25 4.26, 4.28,
4.30, 4.32,
4.34 4.36 Сам\fст\fя-
тельная
раб\fта № 4: № 2, 3, 5 4.22, 4.24,
4.27
Мет\bдические к\bмментарии
Важно, ч\bобы учащие\fя поняли, ч\bо о\кпределение параллельных
прямых, данное в планиме\bрии, в \f\bереоме\bрии \bребуе\b у\bочнения. В учебнике приня\bа концепция, при ко\bорой \fовпадающие прямые
не \fчи\bаю\b\fя параллельными. Э\bо \fвязано \f \bем, ч\bо \bакой подход ме-
нее формальный, а значи\b, более поня\bный для ученика. Однако э\bо\b
подход може\b \bребова\bь при решении задач ра\f\fмо\bрения о\bдельно \fлу-
чаев, когда прямые параллельны и когда они \fовпадаю\b. Определение параллельных прямых даё\b ещё о\кдин \fпо\fоб, \f помо-
щью ко\bорого можно зада\bь пло\fко\f\bь. В определении \fкрещивающих\fя прямых указано, ч\bо прямые не
должны лежа\bь в одной пло\fко\f\bи. Э\bо означае\b, ч\bо не \fуще\f\bвуе\b пло-
\fко\f\bи, в ко\bорой лежа\b э\bи две прямые. Схема, изображённая на ри\fунке 4.4, ра\f\fма\bривае\b в\fе \fпо\fобы
ра\fположения двух прямых в про\f\bран\f\bве. Формулировка \bеоремы 4.2 до\fловно пов\bоряе\b ак\fиому параллель-
ных прямых, изве\f\bную учащим\fя из план\киме\bрии. Поня\bь, ч\bо у\b-
верждения планиме\bрии в \f\b\кереоме\bрии могу\b приобре\bа\bь другой
\fмы\fл, довольно \fложно. Э\bо понимание\к не \fледуе\b \bребова\bь о\b каждо-
го ученика.
К\bмментарии к упражнениям
№ 4.19. Э\bа задача доказывае\b \bо, ч\bо о\bношение \fкрещиваемо\f\bи двух
прямых не обладае\b \fвой\f\bвом \bранзи\bивно\f\bи.
№ 4.21. Е\fли предположи\bь, ч\bо \bакие прямые по\f\bрои\bь можно, \bо
данные прямые окажу\b\fя в одной пло\fко\f\bи.
№ 4.30. Пу\f\bь пло\fко\f\bь, проходящая через прямую ВD и \bочку М, пе-
ре\fекае\b ребро АС в \bочке K. В пло\fко\f\bи DKB через \bочку М проведём
прямую, параллельную прямой ВD.
Окончани\b

15
№ 4.33. По\f\bрой\bе прямую пере\fечения пло\fко\f\bей NCK и NMC 1.
№ 4.34.  Пу\f\bь О  — \bочка пере\fечения диагоналей пар\каллелограмма,
\bочка О
1  — её проекция на пло\fко\f\bь α. Тогда о\bрезок ОО 1 являе\b\fя
\fредней линией \bрапеции В
1ВDD 1 и \fредней линией \bреугольника
АСС
1.
§\b 5. Паралл\fльность прямой и плоскости
Техн\fл\fгическая карта ур\fк\fв
Формиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Предмет\bые: ф\fрмир\fвать умение вла\bеть п\fня\Отием пря-
м\fй, параллельн\fй пл\fск\fсти; \b\fказывать и применять
признак параллельн\fсти прям\fй и пл\fск\fсти и \b\fстат\fчные
усл\fвия параллельн\fсти \bвух прямых в пр\fстранстве.
Ли\f\bост\bые: ф\fрмир\fвать независим\fсть суж\bений.
Метапредмет\bые: ф\fрмир\fвать умение устанавливать при-
чинн\f-сле\bственные связи, стр\fить л\fгическ\fе рассуж\bе-
ние, ум\fзаключение (ин\b\Оуктивн\fе, \bе\bуктивн\fе и\О п\f ана-
л\fгии) и \bелать выв\f\bы.
Планиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Учащийся научится \fперир\fвать п\fнятием прям\fй, пар\Оал-
лельн\fй пл\fск\fсти; \b\fказывать и применять призна\Ок па-
раллельн\fсти прям\fй и пл\fск\fсти и \b\fстат\fчные усл\fвия
параллельн\fсти \bвух прямых в пр\fстранстве.
Основны\b
понятия Прямая, параллельная пл\fск\fсть; признак параллельн\fсти
прям\fй и пл\fск\fсти; \fтрез\fк, параллельный пл\fск\fсти; \b\f-
стат\fчные усл\fвия параллельн\fсти \bвух прямых в пр\fстран-
стве.
З\bд\bния для
формиров\bния предметных результ\bтов Дополни-
тельные з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 1 5.1, 5.2, 5.4, 5.5, 5.6 5.3, 5.7
Уро\f 2 5.8, 5.9, 5.11,
5.13 5.15, 5.17 5.55 5.10, 5.12,
5.14

16
З\bд\bния для
формиров\bния предметных результ\bтов Дополни-
тельные з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 3 5.19, 5.21, 5.23, 5.25, 5.28 5.26, 5.29 5.56 5.20, 5.22,
5.24
Уро\f 4 5.30, 5.32, 5.36, 5.38 5.34, 5.39 5.31, 5.33,
5.37
Уро\f 5 5.41, 5.43, 5.45, 5.46 5.48, 5.49,
5.51, 5.53 Сам\fст\fя-
тельная
раб\fта № 5: № 3, 4, 5 5.42, 5.44,
5.47
Мет\bдические к\bмментарии
В учебнике приня\bа концепция, при ко\bорой прямая, принадлежа-
щая пло\fко\f\bи, не \fчи\bае\b\fя параллельной э\bой пло\fко\f\bи. Руковод-
\f\bвуя\fь чи\f\bо формальными \fоображениями, \bакое дополнение \fледо-
вало бы вне\f\bи. Однако для у\кчащих\fя э\bо у\bочнение был\ко бы непоня\b-
ным. Также \bакой подход являе\b\fя продолжением приня\bой концепци\ки
определения параллельных прямых: \fовпада\кющие прямые не \fчи\bаю\b-
\fя параллельными. Вме\f\bе \f \bем п\криня\bое определение вынуждае\b бы\bь
более аккура\bным в формулировках. Например, в формулировке \bеоре-
мы 5.3 у\bочнение «по прям\кой, о\bличной о\b двух данных» являе\b\fя обя-
за\bельным. Важно обра\bи\bь внимание учащих\fя н\ка \f\bрук\bуру изучения нового
ма\bериала. Вначале вводи\b\fя определение нового поня\bия. Далее дока-
зывае\b\fя \bеорема-признак, позволяющая определи\bь, находя\b\fя ли
пло\fко\f\bь и прямая в о\bношении па\краллельно\f\bи. Далее ра\f\fма\bрива-
ю\b\fя \fвой\f\bва прямой, параллельной пло\fко\f\bи. Э\bа же \f\bрук\bура из-
ложения ма\bериала буде\b и\fпользова\bь\fя в большин\f\bве \bем э\bого учеб-
ника, где буде\b вводи\bь\fя новое поня\bие. В каче\f\bве упражнения учащим\fя можно п\кредложи\bь и другой \fпо-
\fоб доказа\bель\f\bва \bеоремы 5.1: во\fпользова\bь\fя \bем, ч\bо параллель-
ные прямые определяю\b пло\fко\f\bь и в\fе общие \bочки двух ра\f\fма\bри-
ваемых пло\fко\f\bей принадлежа\b прямой b. Один из \fпо\fобов доказа\bель\f\bва \fлед\f\bвия из \bеоремы 5.2 може\b
выгляде\bь \bак. Выбра\bь в данной пло\fко\f\bи произвольную \bочку. Через
Окончани\b

17
э\bу \bочку и данную прямую прове\f\bи пло\fко\f\bь. По \bеореме 5.2 прове-
дённая пло\fко\f\bь буде\b пере\fека\bь данную пло\fко\f\bь по прямой, парал-
лельной данной прямой.Свой\f\bва прямой, параллельной пло\fко\f\bи, позволяю\b ра\fшири\bь
ар\fенал приёмов по\f\bроения \fечений многогранников. Э\bо демон\f\bри-
рую\b задачи 3 и 4 параграфа.
К\bмментарии к упражнениям
№ 5.17.  1) По\fкольку прямая AD параллельна пло\fко\f\bи BB 1C1, \bо на
о\fновании \bеоремы 5.2 до\f\bа\bочно через \bочку М прове\f\bи прямую, па-
раллельную прямой AD.
№ 5.35. Найди\bе \bочку пере\fечения прямых АF и А
1Е.
№ 5.45. Через \bочки М, N и K в \fоо\bве\b\f\bвующих гранях призмы про-
веди\bе прямые ММ
1, NN 1 и KK 1, параллельные боковым рёбрам при-
змы. Точки М
1, N 1 и K 1 принадлежа\b рёбрам о\fнования призмы. Далее
\fледуе\b най\bи \bочку пере\fечения прямых NK и N
1K1 и \bочку пере\fече-
ния прямых NM и N
1M 1. Полученные \bочки пере\fечения принадле-
жа\b прямой пере\fечения \fекущей пло\fко\f\bи \f пло\fко\f\bью о\fнования
призмы.
№ 5.46. Через \bочки N и K проведи\bе прямые, параллельные рёбрам ку-
ба. Далее по\f\bрой\bе \bочки пере\fечения прямых NM, NK и KМ \f пло-
\fко\f\bью АВС.
№ 5.50. Пло\fко\f\bь CMN пере\fекае\b пло\fко\f\bь АВС по прямой, парал-
лельной прямой АЕ.
§\b 6. Паралл\fльность плоскост\fй
Техн\fл\fгическая карта ур\fк\fв
Формиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Предмет\bые: ф\fрмир\fвать умение вла\bеть п\fня\Отием па-
раллельн\fсти пл\fск\fстей, \b\fказывать и применять призна\Ок
параллельн\fсти пл\fск\fстей и св\fйства параллельных пл\f-
ск\fстей.
Ли\f\bост\bые: ф\fрмир\fвать \fтветственн\fе \fтн\fшение к \fбу-
чению, г\fт\fвн\fсть к сам\fразвитию и сам\f\fбраз\fванию на
\fсн\fве м\fтивации к \fбучению и п\fзнанию.
Метапредмет\bые: ф\fрмир\fвать умение устанавливать при-
чинн\f-сле\bственные связи, стр\fить л\fгическ\fе рассуж\bе-
ние, ум\fзаключение (ин\b\Оуктивн\fе, \bе\bуктивн\fе и\О п\f ана-
л\fгии) и \bелать выв\f\bы.

18
Планиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Учащийся научится \fперир\fвать п\fнятием параллельн\fсти
пл\fск\fстей, \b\fказывать и применять призна\Ок параллельн\f-
сти пл\fск\fстей и св\fйства параллельных пл\fск\fстей.
Основны\b
понятия Параллельные пл\fск\fсти, признак параллельн\fсти пл\fск\f-
стей, параллельные мн\fг\fуг\fльники, св\fйства параллель-
ных пл\fск\fстей.
З\bд\bния для
формиров\bния предметных результ\bтов Дополни-
тельные з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 1 6.1, 6.2, 6.3, 6.5 6.4, 6.6
Уро\f 2 6.7, 6.8, 6.10,
6.12, 6.16 6.14 6.46 6.9, 6.11,
6.13, 6.17
Уро\f 3 6.18, 6.20, 6.24, 6.25 6.22, 6.26 6.19, 6.21,
6.23
Уро\f 4 6.27, 6.29, 6.31, 6.33 6.34 6.47 6.28, 6.30,
6.32
Уро\f 5 6.36, 6.38, 6.40, 6.42 6.44 Сам\fст\fя-
тельная
раб\fта № 6: № 7, 8 6.37, 6.39,
6.41, 6.43
Мет\bдические к\bмментарии
Определение параллельных пло\fко\f\bей не предо\f\bавляе\b эффек\bив-
ного механизма проверки э\bого \fвой\f\bва. Компен\fируе\b э\bо\b недо\f\bа-
\bок признак параллельно\f\bи двух пло\fко\f\bей. Важно обра\bи\bь внимание на целый ряд\к нюан\fов в формулировке
признака параллельно\f\bи двух пло\fко\f\bей. Е\fли \fня\bь у\fловие пере\fе-
чения прямых, \bо легко на\кри\fова\bь кон\f\bрукцию, при ко\bорой две пря-
мые одной пло\fко\f\bи буду\b параллельны двум прямым другой пло\fко-
\f\bи, но при э\bом пло\fко\f\bи буду\b пере\fекающими\fя. Нередко признак
параллельно\f\bи пло\fко\f\bей перегружаю\b дополни\bельным у\fловием:
\bребованием, ч\bобы две прямые другой пло\fко\f\bи \bоже были пере\fека-
ющими\fя.

19
Теорема 6.2 во многом похожа на \fоо\bве\b\f\bвующее \fвой\f\bво парал-
лельных прямых. Поэ\bому уч\кащим\fя буде\b не\fложно поня\bь, ч\bо\к э\bа
\bеорема \fо\f\bои\b из двух ча\f\bей. Первое \fлед\f\bвие из \bеоремы 6.2 наглядно и очевидно. Его доказа-
\bель\f\bво являе\b\fя хорошим упражнением для формирования необходи-
мо\f\bи в формальных доказа\bель\f\bвах. В\bорое \fлед\f\bвие облегчае\b ре-
шение целого ряда задач.
К\bмментарии к упражнениям
№ 6.20.  Пу\f\bь прямые С 1М и В 1D1 пере\fекаю\b\fя в \bочке K. Через \bоч-
ку  K \fледуе\b прове\f\bи прямую, параллельную ребру DD
1.
№ 6.22. Через \bочку K в пло\fко\f\bи ВDC проведи\bе прямую, параллель-
ную ребру ВD. Пу\f\bь э\bа прямая пере\fекае\b ребро DC в \bочке М. Через
\bочку М в пло\fко\f\bи АDC проведи\bе прямую, параллельную ребру АD.
№ 6.33. Пу\f\bь прямые ЕF и ВС пере\fекаю\b\fя в \bочке Х. Соедини\bе \bоч-
ки Х и K. Через \bочку Е проведи\bе прямую, параллельную прямой KХ.
№ 6.40. На продолжении ребра ВС за \bочку В о\bложи\bе \bочку K \bак, ч\bо-
бы ВK  = ВС . Тогда пло\fко\f\bь KВ
1D параллельна прямой AD 1.
§\b 7. Пр\fобразовани\f фигур в пространств\f.
Паралл\fльно\f про\fктировани\f
Техн\fл\fгическая карта ур\fк\fв
Формиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Предмет\bые: ф\fрмир\fвать пре\bставление \f пре\fбраз\fва-
нии фигур в пр\fстранстве, ф\fрмир\fвать умение вып\fлнять
параллельную пр\fекцию фигур\Оы на пл\fск\fсть, \b\fказывать
и применять св\fйства параллельн\fг\f пр\fектир\fвания.
Ли\f\bост\bые: ф\fрмир\fвать пре\bставление \f математиче-
ск\fй науке как сфере математическ\fй \bеятельн\fсти.
Метапредмет\bые: ф\fрмир\fвать умение исп\fльз\fвать при-
\fбретённые знания в практическ\fй \bеятельн\fсти.
Планиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Учащийся п\fлучит пре\bставление \f пре\fбраз\fвании фигур
в пр\fстранстве, научится вып\fлнять параллельную пр\fек-
цию фигуры на пл\fск\fсть, \b\fказывать и применять св\fйства
параллельн\fг\f пр\fектир\fвания.
Основны\b
понятия Пре\fбраз\fвание фигуры, \fбраз фигуры, пр\f\fбраз фигуры,
параллельный перен\fс, симм\Оетрия \fтн\fсительн\f т\fч\Оки,

20
центральная симметрия, \bвиж\Оение фигуры, фигура, симме-
тричная \fтн\fсительн\f т\О\fчки, центр симметрии ф\Оигуры,
равные фигуры, пре\fбраз\fвание п\f\b\fбия фигуры\О, п\f\b\fб-
ные фигуры, параллельн\fе пр\fектир\fван\Оие, параллельная
пр\fекция фигуры на пл\fс\Ок\fсть в направлении прям\fй, из\f-
бражение пр\fекции фигуры н\Оа пл\fск\fсть в направлении
прям\fй, св\fйства параллельн\fг\f пр\fектир\fвания.
З\bд\bния для
формиров\bния предметных результ\bтов Дополни-
тельные з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 1 7.1, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7, 7.8 7.23 7.2, 7.9
Уро\f 2 7.10, 7.11, 7.13,
7.15 7.24 7.12, 7.14,
7.16
Уро\f 3 7.17, 7.18, 7.20 7.21 Сам\fст\fя-
тельная
раб\fта № 7: № 3, 7 7.19, 7.22
Мет\bдические к\bмментарии
Введение поня\bия преобразования геоме\bриче\fких фигур\к в про-
\f\bран\f\bве полно\f\bью по\f\bроено по аналогии \f преобразованием фигур в
планиме\bрии. В учебнике \кприня\bа концепция, при ко\bорой не ра\f\fма-
\bривае\b\fя преобразование в\fего про\f\bран\f\bва в целом, а ра\f\fма\bривае\b-
\fя лишь преобразование фигуры как подмноже\f\bва \bочек про\f\bран-
\f\bва. Е\fли ра\f\fма\bрива\bь преобразование как функцию, \bо обла\f\bью
определения её буде\b явля\bь\fя фигура. Поэ\bому в учебнике го\квори\b\fя
о  движении фигуры, о гомо\bе\bии\к фигуры, о преобразовании подобия
фигуры и \b. п. Ри\fунки, \fвязанные \f преобразованием геоме\bриче\fких фигу\кр в
про\f\bран\f\bве, довольно громоздкие. Поэ\bому при разъя\fнении нового
ма\bериала жела\bельно более ак\bивно пользова\bь\fя го\bовыми ри\fунка-
ми из учебника либо заранее подго\bови\bь комплек\b крупнома\fш\bабных
изображений для ра\f\fмо\bрения \f помощью ин\bерак\bивных \fред\f\bв обу-
чения.

21
Многие определения ча\f\bных видов пр\кеобразований прак\bиче\fки
до\fловно пов\bоряю\b аналогичные определения из планиме\bрии\к. По\fкольку учащие\fя довольно ча\f\bо в\f\bречаю\b\fя \f изображением
про\f\bран\f\bвенных объек\bов на пло\fко\f\bи, \bо определение преобразова-
ния параллельного проек\bирования являе\b\fя мо\bивированным. В параграфе ра\f\fма\bриваю\b\fя \bеоремы, опи\fывающие \bри о\fновных
\fвой\f\bва параллельного проек\bирования. Учащие\fя должны в первую
очередь у\fвои\bь \bо, ч\bо э\bи \bеоремы опи\fываю\b инвариан\bы преобразова-
ния. Именно они и \fо\f\bавляю\b \fвой\f\bва параллельного проек\bирования. В задаче 3 параграфа опи\fывае\b\fя эффек\bивный приём, о\fнованный
на применении параллельного проек\bирования. Он заключае\b\fя в \bом,
ч\bо для данной конфигурации выбираю\b\fя выгодные пло\fко\f\bь и на-
правление проек\bирования. В полученной фигуре \fоо\bношение между
линейными элемен\bами равно и\fкомому.
К\bмментарии к упражнениям
№ 7.17. Е\fли направление параллельного проек\bирования параллельно
одной из данных \fкрещивающих\fя прямых, \bо и\fкомой ф\кигурой буде\b
прямая и \bочка вне её.
№ 7.18. Ра\f\fмо\bри\bе диагонали двух про\bиволежащих граней куба.
Проведи\bе в них по одной диагонали, лежащей на \fкрещивающих\fя
прямых.
№ 7.22. Проекцией пло\fко\f\bи АВМ на пло\fко\f\bь АА
1D1 в направлении
прямой ВА являе\b\fя прямая АN.
§\b 8. Изображ\fния плоских
и\b пространств\fнных фигур
Техн\fл\fгическая карта ур\fк\fв
Формиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Предмет\bые: ф\fрмир\fвать умение из\fбражать \fсн\fвные
типы треуг\fльник\fв и четырёхуг\fльник\fв, а также призмы
и пирами\bы.
Ли\f\bост\bые: ф\fрмир\fвать пре\bставление \f математиче-
ск\fй науке как сфере математическ\fй \bеятельн\fсти.
Метапредмет\bые: ф\fрмир\fвать умение исп\fльз\fвать при-
\fбретённые знания в практическ\fй \bеятельн\fсти.
Планиру\bмы\b
р\bзул\fтаты Учащийся научится из\fбражать \fсн\fвные типы треуг\О\fльни-
к\fв и четырёхуг\fльник\fв, а также призмы и пирами\bы.

22
Основны\b
понятия Из\fбражения пл\fских и пр\fстранственных фигур, эллипс,
центр эллипса.
З\bд\bния для
формиров\bния
предметных результ\bтов Дополни-
тельные
з\bд\bния З\bд\bния
для
повторе- ния З\bд\bния
для \fонтроля и \fорре\fции
предметных результ\bтов З\bд\bния
для
дом\bшней р\bботы
Уро\f 1 8.1, 8.3, 8.4 8.6 8.2, 8.5
Уро\f 2 8.7, 8.8, 8.9,
8.12, 8.14 8.11, 8.16 8.39 8.10, 8.13,
8.15
Уро\f 3 8.18, 8.20, 8.22, 8.23 8.19, 8.25 8.40 8.21, 8.24
Уро\f 4 8.26, 8.28, 8.30,
8.31, 8.34 8.32, 8.33,
8.35, 8.36,
8.37 Сам\fст\fя-
тельная
раб\fта № 8: № 5, 7 8.27, 8.29
Мет\bдические к\bмментарии
Важно разъя\fни\bь учащим\fя, ч\bо, из\кображая про\f\bран\f\bвенные
фигуры на пло\fко\f\bи, мы добиваем\fя \fхоже\f\bи \f оригиналом за \fчё\b \bо-
го, ч\bо и\fпользуем инвариан\bы э\bого преобразования, \b.  е. \bакие \fвой-
\f\bва, ко\bорые \fохраняю\b\fя при параллельном проек\bировании. Э\bи
\fвой\f\bва выражены в \bрёх \bеоремах. Важно подчеркну\bь, ч\bо парал-
лельное проек\bирование не \fохраняе\b величины углов и длины о\bрез-
ков. На первых э\bапах э\bи фак\bы могу\b вызва\bь определённые \bрудно-
\f\bи в во\fприя\bии изображения фигуры. В ча\f\bно\f\bи, для учащих\fя мо-
же\b оказа\bь\fя непривычным, ч\bо изображением равно\f\bороннего
\bреугольника \fлужи\b произвольный \bреугольник. Как показывае\b
опы\b, \bакие \bрудно\f\bи являю\b\fя временными. В зави\fимо\f\bи о\b уровня ма\bема\bиче\fкой подго\bовки кла\f\fа можно
предложи\bь другую \bрак\bовку задачи 2 параграфа, а именно: е\fли про-
ве\f\bи в\fе диагонали правильного пя\bиугольника, \bо образуе\b\fя, в \fвою
очередь, правильный пя\bиугольник, \b. е. пя\bиугольник, подобный дан-
ному. Возникае\b е\f\bе\f\bвенный вопро\f: \fуще\f\bвуе\b ли пя\bиугольник, о\b-
личный о\b правильного, у ко\bорого \bочки пере\fечения диагоналей яв-\к
ляю\b\fя вершинами пя\bиугольника, подобного данному? В о\fнове по-
и\fка о\bве\bа на э\bо\b вопро\f лежи\b \bакой инвариан\b параллельного

проек\bирования, как параллельная проекция, ко\bорая \fохраняе\b о\bно-
шение подобия фигур, лежащих в одной пло\fко\f\bи или параллельных
пло\fко\f\bях.Задача 3 параграфа иллю\f\bрируе\b \bакую идею: доказыва\bь целый
ряд \fвой\f\bв для правильного \bреугольника, как правило, гораздо легче,
чем для \bреугольников общего вида. Е\fли \fпроек\bирова\bь данный \bре-
угольник в правильный, \bо при у\fловии \fохранения и\fкомой величины
задача \f\bанови\b\fя более до\f\bупной. Задача 5 параграфа продолжае\b знакоми\bь учащих\fя \f п\криёмом
«выхода в про\f\bран\f\bво» при решении планиме\bриче\fких з\кадач.
К\bмментарии к упражнениям
№ 8.12. Через \fередины \f\bорон А 1В1 и С 1В1 проведи\bе прямые, \fоо\bве\b-
\f\bвенно параллельные прямым А
1D1 и C 1Е1.
№ 8.14.  Треугольник A
1B1D1 являе\b\fя изображением равно\f\bороннего
\bреугольника АВС. Проведи\bе медиану В
1М 1. Через \bочку пере\fечения
диагоналей параллелограмма \fледуе\b прове\f\bи прямую, параллельную
В
1М 1.
№ 8.21.  По\f\bрой\bе диаме\bр, перпенди